1. integral (y+2) d yy^2+4 y=ln |y^2+4 y|2+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral y+2y^2+4y,dy
O conteúdo usado será o método de substituição, pois o numerador y+2 é proporcional à derivada do denominador y^2+4y.

Passo 2

Definimos a substituição
u = y^2 + 4y
para simplificar o integrando.

Passo 3

Calculamos du. Diferenciando em relação a y,
du = (2y + 4),dy = 2(y+2),dy
Logo,
(y+2),dy = 12,du

Passo 4

Substituindo em integral y+2y^2+4y,dy, temos
integral y+2y^2+4y,dy = integral 1u cdot 12,du = 12 integral 1u,du
A integral de 1/u é o logaritmo natural:
12 integral 1u,du = 12 lnl|ur| + C

Passo 5

Voltando à variável y (isto é, u = y^2+4y), obtemos
integral y+2y^2+4y,dy = 12 lnl|y^2 + 4yr| + C

Resposta

integral y+2y^2+4y,dy = 12 lnl|y^2 + 4yr| + C

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