Passo 1
Beleza! Temos que resolver a integral definida
. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de Integrais Definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e aplicar o conceito de integral definida, que nos dá a área sob a curva entre os limites de integração, que nesse caso são 0 e 4.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que facilite a integração. Sabemos que
é o mesmo que
, então:
Passo 3
Agora, precisamos integrar
em relação a
. A regra básica para integrar potências de
é:
onde
é a constante de integração e
.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função
:
Simplificando a fração:
Então, a integral indefinida é:
Passo 5
Como estamos lidando com uma integral definida, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são 0 e 4. A fórmula para a integral definida é:
onde
é a antiderivada de
.
Passo 6
Nossa antiderivada
é
. Vamos calcular
e
:
Resposta
Portanto, a integral definida é: