integral0^4 1raizx d x

Passo 1

Beleza! Temos que resolver a integral definida integral0^4 1raizx , dx. Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente no tópico de Integrais Definidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e aplicar o conceito de integral definida, que nos dá a área sob a curva entre os limites de integração, que nesse caso são 0 e 4.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 1raizx de uma forma que facilite a integração. Sabemos que raizx é o mesmo que x^1/2, então:
1raizx = x^-1/2

Passo 3

Agora, precisamos integrar x^-1/2 em relação a x. A regra básica para integrar potências de x é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função x^-1/2:
integral x^-1/2 , dx = x^-1/2 + 1-1/2 + 1 + C = x^1/21/2 + C
Simplificando a fração:
x^1/21/2 = 2x^1/2
Então, a integral indefinida é:
integral 1raizx , dx = 2raizx + C

Passo 5

Como estamos lidando com uma integral definida, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração, que são 0 e 4. A fórmula para a integral definida é:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x).

Passo 6

Nossa antiderivada F(x) é 2raizx. Vamos calcular F(4) e F(0):
F(4) = 2raiz4 = 2 times 2 = 4
F(0) = 2raiz0 = 2 times 0 = 0

Resposta

Portanto, a integral definida é:
integral0^4 1raizx , dx = F(4) - F(0) = 4 - 0 = 4

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