Sejam a in Q e b in R backslash Q. Mostre que a+b in R backslash Q. [Sugestão: suponha que a+b=q in Q o qual leva a uma contradição.]

Passo 1

Estamos com a proposta: provar que, dadas a in Q e b in RsetminusQ, a soma a+b é irracional. Vamos usar prova por contradição e o fato de que os racionais são fechados sob adição e subtração.

Passo 2

Suponha, por absurdo, que a+b seja racional. Logo, existe q in Q tal que a+b=q.

Passo 3

Isolando b, temos b = q - a. Como q e a são racionais e os racionais são fechados sob subtração, segue que binQ.

Passo 4

Isso contradiz a hipótese de que b é irracional. Portanto, nossa suposição inicial está errada e a+b não pode ser racional.

Resposta

a+bin Rsetminus Q.

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