Sejam
e
. Mostre que
. [Sugestão: suponha que
o qual leva a uma contradição.]
Passo 1
Estamos com a proposta: provar que, dadas
e
, a soma
é irracional. Vamos usar prova por contradição e o fato de que os racionais são fechados sob adição e subtração.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Logo, existe
tal que
.
Passo 3
Isolando
, temos
. Como
e
são racionais e os racionais são fechados sob subtração, segue que
.
Passo 4
Isso contradiz a hipótese de que
é irracional. Portanto, nossa suposição inicial está errada e
não pode ser racional.