Mostre que a série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1)! converge pelo teste da série alternada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita da forma sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1)!. O assunto que a gente vai usar para mostrar que essa série converge é o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos verificar se os termos da série alternam de sinal, se os termos diminuem de tamanho e se tendem a zero quando $ n $ vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a série realmente é alternada. Olha só o termo geral: (-1)^n-1(2 n-1)!. O (-1)^n-1 faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme $ n $ aumenta. Então, sim, a série é alternada.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se os valores absolutos dos termos estão diminuindo à medida que $ n $ aumenta. Vamos olhar para $ a_n = \frac{1}{(2 n-1)!} $. Sabemos que $ (2 n-1)! $ cresce muito rápido conforme $ n $ aumenta, então $ a_n $ vai diminuindo. Por exemplo:
  • Para $ n = 1 $: $ a_1 = \frac{1}{1!} = 1 $
  • Para $ n = 2 $: $ a_2 = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6} $
  • Para $ n = 3 $: $ a_3 = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120} $
Viu como os termos estão diminuindo?

Passo 4

O último ponto do Teste da Série Alternada é que limn to +infty an = 0. Vamos calcular esse limite:
limn to +infty 1(2 n-1)! = 0
Isso porque $ (2 n-1)! $ cresce para infinito, então $ \frac{1}{(2 n-1)!} $ tende a zero.

Resposta

Como todos os critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos (sinais alternados, termos decrescentes e limite zero), a série sumn=1^+infty (-1)^n-1(2 n-1)! converge.

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