Mostre que a série
converge pelo teste da série alternada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita da forma
. O assunto que a gente vai usar para mostrar que essa série converge é o Teste da Série Alternada. Para isso, precisamos verificar se os termos da série alternam de sinal, se os termos diminuem de tamanho e se tendem a zero quando $ n $ vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a série realmente é alternada. Olha só o termo geral:
. O
faz com que os sinais dos termos alternem entre positivo e negativo conforme $ n $ aumenta. Então, sim, a série é alternada.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se os valores absolutos dos termos estão diminuindo à medida que $ n $ aumenta. Vamos olhar para $ a_n = \frac{1}{(2 n-1)!} $. Sabemos que $ (2 n-1)! $ cresce muito rápido conforme $ n $ aumenta, então $ a_n $ vai diminuindo. Por exemplo:
- Para $ n = 1 $: $ a_1 = \frac{1}{1!} = 1 $
- Para $ n = 2 $: $ a_2 = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6} $
- Para $ n = 3 $: $ a_3 = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120} $
Viu como os termos estão diminuindo?
Passo 4
O último ponto do Teste da Série Alternada é que
. Vamos calcular esse limite:
Isso porque $ (2 n-1)! $ cresce para infinito, então $ \frac{1}{(2 n-1)!} $ tende a zero.
Resposta
Como todos os critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos (sinais alternados, termos decrescentes e limite zero), a série
converge.