integral0^pi / 2 cos x(integral1^sin x e^t^2 d t) d x é igual a: (a)-13(e+1) ; (b) 12(e-2) ; (c)-12(e-1) ; (d) 12(e+ 1); (e) -13(e-1).

Passo 1

A questão pede para calcular I=integral0^pi/2 cos xl(integral1^sin x e^t^2,dtr),dx. Vamos usar técnicas de mudança de variável e troca de ordem de integração para resolver.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u=sin x. Então du=cos x,dx e, quando x=0, u=0, quando x=pi/2, u=1. Portanto
I=integral0^pi/2cos x(integral1^sin xe^t^2,dt)dx =integral0^1(integral1^ue^t^2,dt)du

Passo 3

Para o intervalo 0<= u<=1, temos integral1^ue^t^2,dt=-integralu^1e^t^2,dt. Logo
I=-integral0^1integralu^1e^t^2,dt,du

Passo 4

Agora trocamos a ordem de integração. O domínio é 0<= u<=1 e u<= t<=1. Invertendo, t vai de 0 a 1 e u de 0 a t:
I=-integral0^1integral0^te^t^2,du,dt=-integral0^1l[ur]0^te^t^2,dt=-integral0^1t,e^t^2,dt

Passo 5

Para calcular integral0^1t,e^t^2,dt, fazemos w=t^2, dw=2t,dt, obtendo
integral0^1t,e^t^2,dt=12integral0^1e^w,dw=12(e-1)

Passo 6

Portanto
I=-12(e-1)= -12(e-1)

Resposta

-\frac{1}{2}(e-1)

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