integral0^1 / 2 cosh x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^1/2cosh(x^2),dx. O conteúdo principal aqui é integração de funções que não têm primitiva elementar, então vamos usar a série de Taylor de cosh(u) e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Lembrando que a série de Taylor de cosh(u) em torno de u=0 é
cosh(u)=sumn=0^inftyu^2n(2n)!
Substituindo u=x^2 temos
cosh(x^2)=sumn=0^inftyx^4n(2n)!
Agora integramos termo a termo de x=0 até x=1/2:
integral0^1/2cosh(x^2),dx =integral0^1/2sumn=0^inftyx^4n(2n)!,dx =sumn=0^infty1(2n)!integral0^1/2x^4n,dx
Calculando integral0^1/2x^4n,dx=(1/2)^4n+14n+1, obtemos
$$\int_{0}{1/2}\cosh(x2),dx
=\sum_{n=0}{\infty}\frac{(1/2){4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.$$

Passo 3

Basta que somar os primeiros termos para ter uma boa aproximação. Calculando manualmente:
n=0: tfrac(1/2)^11cdot0!=0,5
n=1: tfrac(1/2)^55cdot2!=0,003125
n=2: tfrac(1/2)^99cdot4!approx0,00000904
n=3: tfrac(1/2)^1313cdot6!approx1,3times10^-8
Somando esses termos já temos uma precisão de seis casas decimais.

Resposta

integral0^1/2cosh(x^2),dxapprox0,503134

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