integral0^1 / 2 tg^-1 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1/2 arctan(x^2),dx. Vamos usar integração por partes e depois resolver uma integral racional que aparece.

Passo 2

Vamos aplicar integração por partes escolhendo
u = arctan(x^2) e dv = dx. Daí:
  • du = dfrac2x1+x^4,dx
  • v = x.
    Logo,
integral arctan(x^2),dx = xarctan(x^2) - integral x cdot 2x1+x^4,dx = xarctan(x^2) - 2integral x^21+x^4,dx
A integral original torna-se
integral0^1/2 arctan(x^2),dx = l[xarctan(x^2)r]0^1/2 - 2integral0^1/2 x^21+x^4,dx
O primeiro termo em [,]0^1/2 é tfrac12arctan(1/4). Definimos
J = integral0^1/2 x^21+x^4,dx

Passo 3

Para calcular J fazemos a decomposição padrão:
x^21+x^4 = 121+x^21+x^4 - 121 - x^21+x^4
Cada parcela é integrada usando fatores quadráticos:
1+x^4 = (x^2 +raiz2 x +1)(x^2 -raiz2 x +1)
Sem perder generalidade (detalhes algébricos de frações parciais), chega-se à forma fechada
J = 12raiz2,arctanl(2raiz23r) - 14raiz2ln! l(5 + 2raiz25 - 2raiz2r)

Passo 4

Substituindo em
integral0^1/2 arctan(x^2),dx = 12arctan(1/4) - 2J,
nos dá
integral0^1/2 arctan(x^2),dx = 12arctanl(tfrac14r) - 21l[ 12raiz2,arctanl(tfrac2raiz23r) - 14raiz2ln! l(tfrac5 + 2raiz25 - 2raiz2r) r]
É só reorganizar os coeficientes.

Passo 5

Fazendo as contas finais de sinais e fatores, obtemos
integral0^1/2 arctan(x^2),dx = 12arctanl(tfrac14r) - 1raiz2,arctanl(tfrac2raiz23r) + 12raiz2ln! l(5 + 2raiz25 - 2raiz2r) Esse é o resultado exato em forma fechada, encerrando a resolução.

Resposta

integral0^1/2 arctan(x^2),dx = 12arctanl(tfrac14r) - 1raiz2,arctanl(tfrac2raiz23r) + 12raiz2ln!l(5 + 2raiz25 - 2raiz2r).

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