integral0^1 / 3 d x1+x^4

Passo 1

Temos que calcular a integral definida
integral0^1/3dx1+x^4
O conteúdo aqui é integrar uma função racional de grau superior usando frações parciais e as fórmulas de ln e arctan.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador
x^4+1=(x^2+raiz2,x+1)(x^2-raiz2,x+1)
e escrevemos a decomposição em frações parciais:
1x^4+1=Ax+Bx^2+raiz2,x+1+Cx+Dx^2-raiz2,x+1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x^4+1 e igualando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema que leva a
A=12raiz2, B=12, C=-12raiz2, D=12

Passo 4

Com esses valores, dividimos a integral em duas partes e, em cada uma, completamos o quadrado no denominador e aplicamos
integral du/u=ln|u|
e
integral du/(u^2+a^2)=1aarctan(u/a).
O antiderivado geral é
F(x)=12raiz2lnx^2+raiz2,x+1x^2-raiz2,x+1+1raiz2arctanraiz2,x1-x^2+C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1/3:
Em x=1/3 temos
x^2+raiz2x+1=(10+3raiz2)/9,
x^2-raiz2x+1=(10-3raiz2)/9
e
tfracraiz2,x1-x^2=tfrac3raiz28
Em x=0, F(0)=0. Logo a integral vale
F(1/3)-F(0)=12raiz2ln10+3raiz210-3raiz2+1raiz2arctan3raiz28

Resposta

12raiz2ln10+3raiz210-3raiz2+1raiz2arctan3raiz28

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