integral0^1 x senh raizx d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de x,sinh(raizx),dx. O tema é integração de funções compostas, e vamos precisar usar uma substituição para eliminar a raiz e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Fazendo a substituição u=raizx, temos x=u^2 e dx=2u,du. Quando x=0, u=0, e quando x=1, u=1. Assim a integral vira
integral0^1x,sinh(raizx),dx = integral0^1u^2,sinh(u)cdot2u,du = 2integral0^1u^3,sinh(u),du

Passo 3

Vamos chamar I=integral u^3,sinh(u),du e aplicar integração por partes. Seja A=u^3 e dB=sinh(u),du. Então dA=3u^2,du e B=cosh(u), de modo que
integral u^3,sinh(u),du = u^3cosh(u) - 3integral u^2cosh(u),du

Passo 4

Agora resolvemos integral u^2cosh(u),du também por partes. Tome C=u^2 e dD=cosh(u),du. Então dC=2u,du e D=sinh(u), logo
integral u^2cosh(u),du = u^2sinh(u) - 2integral u,sinh(u),du
E para integral u,sinh(u),du outra partes com E=u, dF=sinh(u),du
integral u,sinh(u),du = ucosh(u) - sinh(u)

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
integral u^2cosh(u),du = u^2sinh(u) - 2l(ucosh(u)-sinh(u)r) = u^2sinh(u) -2ucosh(u) +2sinh(u)
E, portanto,
integral u^3,sinh(u),du = u^3cosh(u) -3l(u^2sinh(u)-2ucosh(u)+2sinh(u)r) = u^3cosh(u) -3u^2sinh(u) +6ucosh(u) -6sinh(u)

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a 1. Definindo
H(u)=u^3cosh(u) -3u^2sinh(u) +6ucosh(u) -6sinh(u),
temos
integral0^1u^3,sinh(u),du = H(1)-H(0) = l(1^3cosh(1)-3sinh(1)+6cosh(1)-6sinh(1)r)-0 =7cosh(1)-9sinh(1)

Passo 7

Voltando à integral original, multiplicamos por 2:
2l(7cosh(1)-9sinh(1)r)=14cosh(1)-18sinh(1)

Resposta

14cosh(1)-18sinh(1)

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