Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida de $ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4x + 5}} $ de 0 a 1. O que isso significa? Basicamente, precisamos encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente o método de completar o quadrado e substituições trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. A expressão é $ x^{2} + 4x + 5 $. Para completar o quadrado, a gente reorganiza os primeiros dois termos:
Agora, completamos o quadrado para $ x^{2} + 4x $:
Portanto,
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Para integrar isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir $ x + 2 = \tan \theta $. Isso significa que $ dx = \sec^{2} \theta , d\theta $, e a raiz no denominador se transforma em:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
A integral de $ \sec \theta $ é $ \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C $.
Mas precisamos ajustar os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
Quando $ x = 1 $:
Passo 5
Aplicando os limites, temos:
Calculando cada termo:
Para $ \theta = \arctan(3) $:
Para $ \theta = \arctan(2) $:
Então:
Resposta
A integral vale $ \ln \left( \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{5} + 2} \right) $.