integral0^1 d xraizx^2+4 x+5

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida de $ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 4x + 5}} $ de 0 a 1. O que isso significa? Basicamente, precisamos encontrar a área sob a curva dessa função entre esses dois pontos. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente o método de completar o quadrado e substituições trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. A expressão é $ x^{2} + 4x + 5 $. Para completar o quadrado, a gente reorganiza os primeiros dois termos:
x^2 + 4x + 5
Agora, completamos o quadrado para $ x^{2} + 4x $:
x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x) + 5
Portanto,
x^2 + 4x

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral0^1 dxraiz(x + 2)^2 + 1
Para integrar isso, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir $ x + 2 = \tan \theta $. Isso significa que $ dx = \sec^{2} \theta , d\theta $, e a raiz no denominador se transforma em:
x + 2 = tan theta

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral sec^2 theta , dthetasec theta = integral sec theta , dtheta
A integral de $ \sec \theta $ é $ \ln |\sec \theta + \tan \theta| + C $.
Mas precisamos ajustar os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
sec theta
Quando $ x = 1 $:
ln |sec theta + tan theta| + C

Passo 5

Aplicando os limites, temos:
integralarctan(2)^arctan(3) sec theta , dtheta = [ ln |sec theta + tan theta| ]arctan(2)^arctan(3)
Calculando cada termo:
Para $ \theta = \arctan(3) $:
theta = arctan(3)
Para $ \theta = \arctan(2) $:
sec theta = raiz1 + 3^2 = raiz10, tan theta = 3
Então:
theta = arctan(2)

Resposta

A integral vale $ \ln \left( \frac{\sqrt{10} + 3}{\sqrt{5} + 2} \right) $.

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