f(t)=t^2, t >= 0 F(s)=integral0^infty e^-s t t^2 d t=-1s e^-s t t^2|0 ^infty+2s integral0^infty e^-s t t d t =0+2s cdot 1s^2 =2s^3, s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função
f(t)=t^2, t>=0
Ou seja, queremos
F(s)=integral0^inftye^-stt^2,dt, s>0
O conteúdo usado será a técnica de integração por partes e o fato conhecido de que
integral0^inftye^-stt,dt=1s^2

Passo 2

Aplicamos integração por partes escolhendo
u=t^2, dv=e^-stdt
para obter
du=2t,dt, v=-1se^-st
Então
integral0^inftye^-stt^2,dt =l-1se^-stt^2r|0^infty +2sintegral0^inftye^-stt,dt

Passo 3

No termo de fronteira, como s>0, e^-stt^2to0 quando ttoinfty e vale zero em t=0. Logo esse termo some e ficamos com
integral0^inftye^-stt^2,dt =2sintegral0^inftye^-stt,dt
Mas já sabemos que
integral0^inftye^-stt,dt=1s^2

Passo 4

Substituindo,
F(s)=integral0^inftye^-stt^2,dt =2scdot1s^2 =2s^3

Resposta

F(s)=2s^3, s>0

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