Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo integrais duplas. O enunciado nos dá três integrais duplas e diz que todas elas são iguais a . Nosso objetivo é entender cada uma dessas integrais e ver como elas chegam nesse resultado. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais duplas e entender as regiões de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira integral:
Aqui, estamos integrando a função primeiro em relação a de até , e depois em relação a de 0 a 1. Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 3
Vamos calcular a integral interna:
Integrando em relação a :
Então, a integral interna resulta em 0.
Passo 4
Agora, quando substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 0 , dx = 0
Portanto, a primeira integral vale 0.
Passo 5
Vamos para a segunda integral:
integral1^4 integralx-2^raizx y , dy , dx
Novamente, começamos integrando em relação a , mas agora os limites são de a . Vamos calcular a integral interna.
Passo 6
Calculando a integral interna:
integralx-2^raizx y , dy = 12 y^2 |x-2^raizx = 12 (raizx)^2 - 12 (x-2)^2 = 12 x - 12 (x^2 - 4x + 4)
Simplificando:
12 x - 12 x^2 + 2x - 2 = -12 x^2 + 52 x - 2
Passo 7
Agora, integremos essa expressão em relação a integral1^4 ( -12 x^2 + 52 x - 2 ) dx de 1 a 4: