integral0^1 integral-raizx^raizx y d y d x+integral1^4 integralx-2^raizx y d y d x=integral-1^2 integraly^2^y+2 y d x d y=94

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma expressão envolvendo integrais duplas. O enunciado nos dá três integrais duplas e diz que todas elas são iguais a . Nosso objetivo é entender cada uma dessas integrais e ver como elas chegam nesse resultado. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular integrais duplas e entender as regiões de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira integral:
integral0^1 integral-raizx^raizx y , dy , dx
Aqui, estamos integrando a função primeiro em relação a de até , e depois em relação a de 0 a 1. Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Vamos calcular a integral interna:
integral-raizx^raizx y , dy
Integrando 12 y^2 |-raizx^raizx = 12 (raizx)^2 - 12 (-raizx)^2 = 12 x - 12 x = 0 em relação a :
Então, a integral interna resulta em 0.

Passo 4

Agora, quando substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^1 0 , dx = 0
Portanto, a primeira integral vale 0.

Passo 5

Vamos para a segunda integral:
integral1^4 integralx-2^raizx y , dy , dx
Novamente, começamos integrando em relação a , mas agora os limites são de a . Vamos calcular a integral interna.

Passo 6

Calculando a integral interna:
integralx-2^raizx y , dy = 12 y^2 |x-2^raizx = 12 (raizx)^2 - 12 (x-2)^2 = 12 x - 12 (x^2 - 4x + 4)
Simplificando:
12 x - 12 x^2 + 2x - 2 = -12 x^2 + 52 x - 2

Passo 7

Agora, integremos essa expressão em relação a integral1^4 ( -12 x^2 + 52 x - 2 ) dx de 1 a 4:
-16 x^3 + 54 x^2 - 2x |1^4
Integrando termo a termo:
-16 (64) + 54 (16) - 8 = -646 + 20 - 8 = -323 + 12 = -323 + 363 = 43
Calculando nos limites:
Para -16 (1) + 54 (1) - 2 = -16 + 54 - 2 = -16 + 54 - 126 = -16 + 1512 - 126 = dots :
Para :
Calculando todo, a diferença resulta em .

Passo 8

Agora, olhamos para a terceira integral:
integral-1^2 integraly^2^y+2 y , dx , dy
Aqui, primeiro integramos em relação a de a , e depois em relação a de -1 a 2. Vamos resolver isso.

Passo 9

Calculando a integral interna:
integraly^2^y+2 y , dx = y (x) |y^2^y+2 = y(y+2) - y(y^2) = y^2 + 2y - y^3
Então, a integral fica:
integral-1^2 (y^2 + 2y - y^3) , dy

Passo 10

Integrando termo a termo:
13 y^3 + y^2 - 14 y^4 |-1^2
Calculando nos limites:
Para 83 + 4 - 164 = 83 + 4 - 4 = 83 :
-13 + 1 - 14 = -13 + 44 - 14 = -13 + 34 = 512
Para :
A diferença é .

Resposta

Todas as integrais avaliadas resultam em .

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