Nos itens abaixo,
denota o cilindro fechado com base dada por
e topo dado por
, e superfície lateral dada pela equação
. Oriente
com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular quatro integrais sobre a superfície fechada S: base em z=0, topo em z=4 e lateral x²
+
y²=9. O conteúdo envolve integrais de superfície escalares e fluxos de campos vetoriais, e vamos usar simetria e o teorema da divergência quando for conveniente.
+
y²=9. O conteúdo envolve integrais de superfície escalares e fluxos de campos vetoriais, e vamos usar simetria e o teorema da divergência quando for conveniente.
Passo 2
Primeiro, separamos S em três partes: o disco inferior SB em z=0, o disco superior ST em z=4 e a superfície lateral SL (cilindro r=3, 0≤z≤4). Nas integrais escalares usamos dS=dA nos discos e dS=3 dθ dz na lateral. Nos fluxos, aplicamos o teorema da divergência ou calculamos diretamente em cada parte.
Passo 3
Para (a) ∬_S y
dS somamos as contribuições de SB, ST e SL. Nos discos, por simetria em y, ∬ y
dA=0. Na lateral, y=3
sinθ e dS=3
dθ
dz, então
dS somamos as contribuições de SB, ST e SL. Nos discos, por simetria em y, ∬ y
dA=0. Na lateral, y=3
sinθ e dS=3
dθ
dz, então
Logo, a integral de (a) é 0.
Passo 4
Para (b) ∬_S x²
dS, calculamos cada parte:
No disco SB (z=0):
dS, calculamos cada parte:
No disco SB (z=0):
Na lateral SL temos x=3
cosθ e dS=3
dθ
dz:
Somando:
Passo 5
Para © ∬_S z,\mathbf{k}\cdot d\mathbf{S}, note que o campo é F=(0,0,z) e
. Pelo teorema da divergência:
Passo 6
Para (d) ∬_S(-y,\mathbf{i}+x,\mathbf{j})\cdot d\mathbf{S}, o campo é G=(-y,x,0) com
. Então o fluxo é zero. Alternativamente, nos discos G·n=0 (n=±k) e na lateral G·n=((–y,x)·(x,y)/3)=0.
Resposta
(a) 0; (b)
; ©
; (d) 0