Nos itens abaixo, S denota o cilindro fechado com base dada por z=0 e topo dado por z=4, e superfície lateral dada pela equação x^2+y^2=9. Oriente S com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
(a) integral duplaS y d S;
(b) integral duplaS x^2 d S;
© integral duplaS z k cdot d S;
(d) integral duplaS(-y i+x j) cdot d S.

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro integrais sobre a superfície fechada S: base em z=0, topo em z=4 e lateral x²
+
y²=9. O conteúdo envolve integrais de superfície escalares e fluxos de campos vetoriais, e vamos usar simetria e o teorema da divergência quando for conveniente.

Passo 2

Primeiro, separamos S em três partes: o disco inferior SB em z=0, o disco superior ST em z=4 e a superfície lateral SL (cilindro r=3, 0≤z≤4). Nas integrais escalares usamos dS=dA nos discos e dS=3 dθ dz na lateral. Nos fluxos, aplicamos o teorema da divergência ou calculamos diretamente em cada parte.

Passo 3

Para (a) ∬_S y
dS somamos as contribuições de SB, ST e SL. Nos discos, por simetria em y, ∬ y
dA=0. Na lateral, y=3
sinθ e dS=3

dz, então
integral duplaSLy,dS=integral0^2piintegral0^43sinthetacdot3,dz,dtheta=9integral0^2pisintheta,dthetaintegral0^4dz=0
Logo, a integral de (a) é 0.

Passo 4

Para (b) ∬_S x²
dS, calculamos cada parte:
No disco SB (z=0):
integral duplaSBx^2,dA=integral0^2piintegral0^3(rcostheta)^2,r,dr,dtheta=integral0^2picos^2theta,dthetaintegral0^3r^3dr=picdot814=81pi4Em ST (z=4) o cálculo é o mesmo, dando também 81pi/4.
Na lateral SL temos x=3
cosθ e dS=3

dz:
integral duplaSLx^2,dS=integral0^2piintegral0^49cos^2thetacdot3,dz,dtheta=27integral0^2picos^2theta,dthetaintegral0^4dz=27picdot4=108pi
Somando:
81pi4+81pi4+108pi=81pi+81pi+432pi4=594pi4=297pi2

Passo 5

Para © ∬_S z,\mathbf{k}\cdot d\mathbf{S}, note que o campo é F=(0,0,z) e nablacdot F=1. Pelo teorema da divergência:
integral duplaSFcdot dS=integral triplaE1,dV=Volume do cilindro=picdot3^2cdot4=36pi

Passo 6

Para (d) ∬_S(-y,\mathbf{i}+x,\mathbf{j})\cdot d\mathbf{S}, o campo é G=(-y,x,0) com nablacdot G=0. Então o fluxo é zero. Alternativamente, nos discos G·n=0 (n=±k) e na lateral G·n=((–y,x)·(x,y)/3)=0.

Resposta

(a) 0; (b) tfrac297pi2; © 36pi; (d) 0

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