integral0^3 integral0^2 integralx+y^3 x+5 y z y cdot d z cdot d y cdot d x=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O enunciado pede para calcular uma integral tripla onde integramos a função $ z y $ sobre os limites de $ x $ de 0 a 3, $ y $ de 0 a 2 e $ z $ de $ x + y $ a $ 3x + 5y $. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com integrais múltiplas e como integrar passo a passo, começando de dentro para fora.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a $ z $. Temos:
z
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ z $.

Passo 3

Vamos resolver a integral em relação a $ z $:
z
Avaliação dos limites de integração:
integral z y , dz = y integral z , dz = y ( z^22 ) + C
Simplificando:
y ( (3x + 5y)^22 - (x + y)^22 )

Passo 4

Agora, vamos expandir os quadrados:
(3x + 5y)^2 = 9x^2 + 30xy + 25y^2
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Subtraindo os dois:
9x^2 + 30xy + 25y^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = 8x^2 + 28xy + 24y^2
Portanto, a expressão fica:
y2 (8x^2 + 28xy + 24y^2) = 4x^2 y + 14x y^2 + 12 y^3

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral dupla restante:
integral0^3 integral0^2 (4x^2 y + 14x y^2 + 12 y^3) , dy , dx
Vamos integrar em relação a $ y $ primeiro.

Passo 6

Integrando cada termo com respeito a $ y $:
y
integral (4x^2 y) , dy = 4x^2 cdot y^22 = 2x^2 y^2
integral (14x y^2) , dy = 14x cdot y^33 = 14x y^33
Agora, avaliamos de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
integral (12 y^3) , dy = 12 cdot y^44 = 3 y^4

Passo 7

Substituímos essa expressão na última integral em relação a $ x $:
x
Agora, vamos integrar cada termo com respeito a $ x $.

Passo 8

Integrando cada termo:
integral 8x^2 , dx = 8 cdot x^33 = 8x^33
integral 112x3 , dx = 1123 cdot x^22 = 56x^23
integral 48 , dx = 48x
Agora, avaliamos de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
x = 0

Resposta

A integral tripla vale 384.

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