Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral juntos! O enunciado pede para calcular uma integral tripla onde integramos a função $ z y $ sobre os limites de $ x $ de 0 a 3, $ y $ de 0 a 2 e $ z $ de $ x + y $ a $ 3x + 5y $. Para isso, vamos precisar entender como trabalhar com integrais múltiplas e como integrar passo a passo, começando de dentro para fora.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a $ z $. Temos:
Aqui, $ y $ é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a $ z $.
Passo 3
Vamos resolver a integral em relação a $ z $:
Avaliação dos limites de integração:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos expandir os quadrados:
Subtraindo os dois:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Agora, substituímos essa expressão na integral dupla restante:
Vamos integrar em relação a $ y $ primeiro.
Passo 6
Integrando cada termo com respeito a $ y $:
Agora, avaliamos de $ y = 0 $ a $ y = 2 $:
Passo 7
Substituímos essa expressão na última integral em relação a $ x $:
Agora, vamos integrar cada termo com respeito a $ x $.
Passo 8
Integrando cada termo:
Agora, avaliamos de $ x = 0 $ a $ x = 3 $:
Resposta
A integral tripla vale 384.