Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos que calcular uma integral tripla:
Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como lidar com os limites de integração e integrar passo a passo, começando pela integral mais interna.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a $ z $. A gente tem:
Integrar em relação a $ z $ é simples, porque a função dentro é apenas 1. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora que resolvemos a parte de $ z $, vamos substituir na integral do meio, que é em relação a $ y $:
Vamos integrar isso passo a passo. A antiderivada de $ 4 - y $ em relação a $ y $ é:
Agora, avaliamos isso nos limites de $ y = x^2 $ até $ y = 4 $:
Passo 4
Com essa expressão, a integral agora fica só em relação a $ x $:
Vamos integrar termo a termo:
- $ \int_{-2}^{2} 8 , dx = 8x \big|_{-2}^{2} = 8(2) - 8(-2) = 16 + 16 = 32 $
- $ \int_{-2}^{2} -4x^2 , dx = -4 \cdot \frac{x^3}{3} \big|_{-2}^{2} = -4\left(\frac{8}{3} - \frac{-8}{3}\right) = -4 \cdot \frac{16}{3} = -\frac{64}{3} $
- $ \int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^4 , dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^5}{5} \big|_{-2}^{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{32}{5} - \frac{-32}{5}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{5} = \frac{32}{5} $
Resposta
Agora, somando todos os resultados:
Então, o valor da integral tripla é: