integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4-y d z d y d x=

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos que calcular uma integral tripla:
integral-2^2 integralx^2^4 integral0^4-y dz, dy, dx
Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente integrais múltiplas. Pra resolver isso, vamos precisar entender como lidar com os limites de integração e integrar passo a passo, começando pela integral mais interna.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a $ z $. A gente tem:
z
Integrar em relação a $ z $ é simples, porque a função dentro é apenas 1. Então, a integral fica:
integral0^4-y dz

Passo 3

Agora que resolvemos a parte de $ z $, vamos substituir na integral do meio, que é em relação a $ y $:
z
Vamos integrar isso passo a passo. A antiderivada de $ 4 - y $ em relação a $ y $ é:
y
Agora, avaliamos isso nos limites de $ y = x^2 $ até $ y = 4 $:
integralx^2^4 (4 - y) dy

Passo 4

Com essa expressão, a integral agora fica só em relação a $ x $:
x
Vamos integrar termo a termo:
  1. $ \int_{-2}^{2} 8 , dx = 8x \big|_{-2}^{2} = 8(2) - 8(-2) = 16 + 16 = 32 $
  2. $ \int_{-2}^{2} -4x^2 , dx = -4 \cdot \frac{x^3}{3} \big|_{-2}^{2} = -4\left(\frac{8}{3} - \frac{-8}{3}\right) = -4 \cdot \frac{16}{3} = -\frac{64}{3} $
  3. $ \int_{-2}^{2} \frac{1}{2}x^4 , dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^5}{5} \big|_{-2}^{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{32}{5} - \frac{-32}{5}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{64}{5} = \frac{32}{5} $

Resposta

Agora, somando todos os resultados:
32 - 643 + 325 = 48015 - 32015 + 9615 = 25615
Então, o valor da integral tripla é:
25615

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