Verifique que as funções vetoriais
X1=(l e^3 t 0 e^3 t ), X2=(l -e^3 t e^3 t 0 ), X3=(c -e^3 t -e^3 t e^-3 t )
são soluções do sistema homogêneo
l X^prime=A X=(ccc -1 & 1 & 0 1 & 2 & 1 0 & 3 & -1 ) X em (-infty, infty), e que Xp=(l 5 t+1 2 t 4 t+2 )
é uma solução particular para X^prime=A X+f(t), onde f(t)=(c-9 t 0 -19 t). Encontre uma solução geral para X^prime=A X+f(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta três funções vetoriais $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ que são soluções de um sistema homogêneo de equações diferenciais da forma $ \boldsymbol{X}’ = A \boldsymbol{X} $. Além disso, temos uma solução particular $ X_p $ para um sistema não homogêneo $ \boldsymbol{X}’ = A \boldsymbol{X} + \mathbf{f}(t) $, onde $ \mathbf{f}(t) = X1, X2 $. Nosso objetivo é encontrar a solução geral para esse sistema não homogêneo. Para isso, vamos precisar entender como combinar as soluções do sistema homogêneo com a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para sistemas lineares, a solução geral de um sistema não homogêneo pode ser obtida somando a solução geral do sistema homogêneo à uma solução particular do sistema não homogêneo. A ideia é que qualquer solução do sistema não homogêneo pode ser expressa como a soma de uma solução que resolve a parte homogênea e outra que “acerta” a parte não homogênea.

Passo 3

As soluções $ X_1, X_2 $ e $ X_3 $ fornecidas são soluções do sistema homogêneo $ \boldsymbol{X}’ = A \boldsymbol{X} $. Isso significa que qualquer combinação linear dessas soluções também será uma solução do sistema homogêneo. Ou seja, se colocarmos constantes $ c_1, c_2 $ e $ c_3 $, teremos:
X1, X2
Aqui, $ \boldsymbol{X}_h(t) $ representa a solução geral do sistema homogêneo.

Passo 4

Agora, temos uma solução particular $ X_p(t) $ para o sistema não homogêneo $ \boldsymbol{X}’ = A \boldsymbol{X} + \mathbf{f}(t) $. Essa solução específica atende à equação completa, ou seja:
Xp(t)
Portanto, ela “compensa” a presença do termo $ \mathbf{f}(t) $ na equação.

Passo 5

Com isso, a solução geral do sistema não homogêneo é simplesmente a soma da solução geral do sistema homogêneo com a solução particular. Ou seja:
X(t) = Xh(t) + Xp(t) = c1 X1(t) + c2 X2(t) + c3 X3(t) + Xp(t)
Essa é a forma completa da solução, onde $ c_1, c_2 $ e $ c_3 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral para $ \boldsymbol{X}’ = A \boldsymbol{X} + \mathbf{f}(t) $ é
X' = A X + f(t)
onde $ c_1, c_2 $ e $ c_3 $ são constantes arbitrárias.

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