1. integral0^1 integraly^1 x^2 e^x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral0^1!integraly^1 x^2e^xy,dx,dy
O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) para facilitar os cálculos, seguido de integrais simples em y e x.

Passo 2

Descrevemos a região de integração no plano (x,y). As variáveis satisfazem
0 <= y <= 1, y <= x <= 1,
ou seja, o triângulo abaixo da reta x=y. Invertendo a ordem, x varia de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a x. Assim
integral0^1integraly^1 x^2e^xy,dx,dy =integral0^1integral0^x x^2e^xy,dy,dx

Passo 3

Agora integramos primeiro em y, tratando x como constante:
integral0^x x^2e^xy,dy =x^2integral0^x e^xy,dy =x^2gl[1xe^xygr]y=0^y=x =x^2e^x^2-1x =xl(e^x^2-1r)

Passo 4

Substituímos de volta na integral em x:
integral0^1xl(e^x^2-1r),dx =integral0^1x,e^x^2,dx -integral0^1x,dx
Para a primeira parte usamos a substituição u=x^2, du=2x,dx:
integral0^1x,e^x^2,dx =12integralu=0^1e^u,du =12l[e^ur]0^1 =e-12,
e a segunda é
integral0^1x,dx =x^22|0^1 =12
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integral0^1xl(e^x^2-1r),dx =e-12-12 =e-22

Resposta

e-22

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