Seja w=f(x, y, z) função tal que as derivadas parciais são continuas.
Calcule partial fpartial r, partial fpartial theta onde (r, theta, z) são as coordenadas cilíndricas de (x, y, z).

Passo 1

O enunciado pede para expressar as derivadas parciais de f(x,y,z) em termos das variáveis cilíndricas (r,theta,z).
Conteúdo: regra da cadeia para funções de várias variáveis e a transformação
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z

Passo 2

Definimos a função composta
g(r,theta,z) = fl(x(r,theta),,y(r,theta),,zr) = fl(rcostheta,;rsintheta,;zr)
Para achar partial f/partial r e partial f/partial theta, aplicamos a regra da cadeia a g.

Passo 3

Cálculo de partial fpartial r:
partial fpartial r = partial gpartial r = fx,partial xpartial r + fy,partial ypartial r + fz,partial zpartial r
Como
partial xpartial r = costheta, partial ypartial r = sintheta, partial zpartial r = 0,
segue que
partial fpartial r = fxcostheta + fysintheta

Passo 4

Cálculo de partial fpartial theta:
partial fpartial theta = partial gpartial theta = fx,partial xpartial theta + fy,partial ypartial theta + fz,partial zpartial theta
Como
partial xpartial theta = -rsintheta, partial ypartial theta = rcostheta, partial zpartial theta = 0,
temos
partial fpartial theta = fxl(-rsinthetar) + fyl(rcosthetar) = -r,fxsintheta + r,fycostheta

Resposta

partial fpartial r = fxcostheta + fysintheta, partial fpartial theta = -r,fxsintheta + r,fycostheta

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