1. integral0^2 integralx^2 2 y^2 sen x y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integralx^22y^2,sen(xy),dy,dx
O conteúdo aqui é integração dupla em um domínio triangular e vamos usar a troca de ordem de integração (Teorema de Fubini) e, em seguida, substituições simples para resolver cada integral.

Passo 2

Identificamos o domínio de integração no plano xy:
0<= x<=2, x<= y<=2
Trocando a ordem de integração, y varia de 0 a 2 e, para cada y, x varia de 0 a y. Assim a integral vira
integraly=0^2integralx=0^y2y^2,sen(xy),dx,dy

Passo 3

Dentro, integramos em x:
integral0^ysen(xy),dx
Fazemos a substituição t=xy, logo dt=y,dx e x=0to t=0, x=yto t=y^2. Então
integral0^ysen(xy),dx =integral0^y^2sen t,dty =1yl[-cos tr]0^y^2 =1yl(1-cos(y^2)r)

Passo 4

Substituindo de volta, a integral em y fica
integral0^22y^2cdot1-cos(y^2)y,dy =integral0^22yl(1-cos(y^2)r),dy =2integral0^2y,dy;-;2integral0^2ycos(y^2),dy

Passo 5

Calculamos cada parte:
  1. 2integral0^2y,dy =2l[tfracy^22r]0^2 =2cdot2=4
  2. Para 2integral0^2ycos(y^2),dy, use u=y^2, du=2y,dy:
integral0^2ycos(y^2),dy =12integral0^4cos u,du =12l[sin ur]0^4 =sin42
Multiplicando por 2 sin4.
Logo todo o valor é
4-sin4

Resposta

4 - sin4

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