Teorema 1. Suponha que
e
sejam continuos em um intervalo (
) que contém o ponto
. Então, para qualquer escolha de valor inicial
, existe uma solução única
para o problema de valor inicial
(15)
De fato, a solução é dada por (8) para um valor adequado de
.
Como estabelecemos fórmulas explícitas para as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem, recebemos como dividendo uma prova direta do teorema ao lado.
Os detalhes da prova do Teorema 1 estão contidos nas deliberações que levam à Equação (8); o Problema 34 oferece os detalhes. Este teorema difere do Teorema 1, na página 10, porque, para o problema de valor inicial linear (15), temos a existência e unicidade da solução sobre o intervalo inteiro (
, b), em vez de algum intervalo não especificado menor sobre
.
A teoria das equações diferenciais lineares é um ramo importante da Matemática, não apenas porque essas equações ocorrem nas aplicações, mas também por causa da estrutura elegante associada a elas. Por exemplo, as equações lineares de primeira ordem sempre têm uma solução geral dada pela Equação (8). Outras propriedades das equações lineares de primeira ordem são descritas nos problemas 28 e 36 . As equações lineares de ordem mais alta serão tratadas nos capítulos 4,6 e 8 .
Exercícios
Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.