Teorema 1. Suponha que
e
sejam continuos em um intervalo (
) que contém o ponto
. Então, para qualquer escolha de valor inicial
, existe uma solução única
para o problema de valor inicial
(15)
De fato, a solução é dada por (8) para um valor adequado de
.
Como estabelecemos fórmulas explícitas para as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem, recebemos como dividendo uma prova direta do teorema ao lado.
Os detalhes da prova do Teorema 1 estão contidos nas deliberações que levam à Equação (8); o Problema 34 oferece os detalhes. Este teorema difere do Teorema 1, na página 10, porque, para o problema de valor inicial linear (15), temos a existência e unicidade da solução sobre o intervalo inteiro (
, b), em vez de algum intervalo não especificado menor sobre
.
A teoria das equações diferenciais lineares é um ramo importante da Matemática, não apenas porque essas equações ocorrem nas aplicações, mas também por causa da estrutura elegante associada a elas. Por exemplo, as equações lineares de primeira ordem sempre têm uma solução geral dada pela Equação (8). Outras propriedades das equações lineares de primeira ordem são descritas nos problemas 28 e 36 . As equações lineares de ordem mais alta serão tratadas nos capítulos 4,6 e 8 .
Exercícios
Nos problemas 1-6, determine se a equação dada é separável, linear, nenhuma, ou ambas.
(15)
De fato, a solução é dada por (8) para um valor adequado de
Como estabelecemos fórmulas explícitas para as soluções das equações diferenciais lineares de primeira ordem, recebemos como dividendo uma prova direta do teorema ao lado.
Os detalhes da prova do Teorema 1 estão contidos nas deliberações que levam à Equação (8); o Problema 34 oferece os detalhes. Este teorema difere do Teorema 1, na página 10, porque, para o problema de valor inicial linear (15), temos a existência e unicidade da solução sobre o intervalo inteiro (
A teoria das equações diferenciais lineares é um ramo importante da Matemática, não apenas porque essas equações ocorrem nas aplicações, mas também por causa da estrutura elegante associada a elas. Por exemplo, as equações lineares de primeira ordem sempre têm uma solução geral dada pela Equação (8). Outras propriedades das equações lineares de primeira ordem são descritas nos problemas 28 e 36 . As equações lineares de ordem mais alta serão tratadas nos capítulos 4,6 e 8 .
Passo 1
Não é possível classificar as equações porque os enunciados dos problemas 1–6 não foram fornecidos.
Resposta
Não é possível determinar pois não foram apresentadas as equações dos problemas 1–6.