integral0^1 g(x) d x, onde g(x)=llcosh x-1x & se x neq 0 0 & se x=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^1g(x),dx, onde
g(x)=cosh x-1x,&xneq0,0,&x=0
O conteúdo principal é integração de uma função definida por partes e o que vamos precisar é a expansão em série de Taylor de cosh x para integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série de Taylor de cosh x em torno de zero é
cosh x=sumn=0^inftyx^2n(2n)!
Subtraindo 1 e dividindo por x obtemos para xneq0
cosh x-1x=sumn=1^inftyx^2n-1(2n)!

Passo 3

Agora integramos termo a termo de 0 a 1. Como a série converge uniformemente em [0,1], podemos trocar soma e integral:
integral0^1cosh x-1x,dx=sumn=1^inftyintegral0^1x^2n-1(2n)!,dx =sumn=1^infty1(2n)!integral0^1x^2n-1,dx
Cada integral é integral0^1x^2n-1dx=12n

Passo 4

Portanto
integral0^1g(x),dx=sumn=1^infty12n(2n)!
Calculando numericamente os primeiros termos temos:
sumn=1^infty12n(2n)!approx0.25+0.0104167+0.0002315+0.0000031+cdotsapprox0.2606513

Resposta

0.2606513 (aproximadamente)

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