Questão 2. Calcule o fluxo do campo F(x, y, z)=(-x, y, z) através da esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 com normal apontando para fora.

Passo 1

Somos solicitados a calcular o fluxo do campo vetorial vec F(x,y,z)=(-x,y,z) através da esfera unitária x^2+y^2+z^2=1 com normal apontando para fora. O conteúdo aqui é o Teorema da Divergência, que converte a integral de superfície num triplo integral da divergência do campo.

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F. A divergência é dada por nablacdotvec F=partial(-x)partial x+partial ypartial y+partial zpartial z=-1+1+1=1. E o Teorema da Divergência afirma:
integral duplapartial Vvec Fcdotvec n,dS = integral triplaV nablacdotvec F,dV

Passo 3

Aplicando o teorema ao volume V da esfera de raio 1, obtemos
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS = integral triplaV 1,dV

Passo 4

Sabendo que o volume da esfera unitária é tfrac43pi, concluímos que o fluxo é tfrac43pi.

Resposta

tfrac4pi3

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