integral0^2 pi sen^2(t)+t cos (t)+2 cos (t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral0^2 pi sin^2(t) + t cos(t) + 2 cos(t) , dt. Aqui, estamos lidando com integrais de funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar dividir a integral em partes mais simples e usar algumas técnicas de integração, como identidades trigonométricas e integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral original em três partes separadas. Isso facilita a resolução de cada termo individualmente. Então, temos:
integral0^2pi sin^2(t) , dt + integral0^2pi t cos(t) , dt + integral0^2pi 2 cos(t) , dt

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte: integral0^2pi sin^2(t) , dt.
Sabemos que podemos usar a identidade trigonométrica para sin^2(t):
sin^2(t) = 1 - cos(2t)2
Então, substituindo na integral:
integral0^2pi 1 - cos(2t)2 , dt = 12 integral0^2pi (1 - cos(2t)) , dt
Integrando termo a termo:
12 [ t - sin(2t)2 ]0^2pi
Avaliando nos limites:
12 [ 2pi - 0 ] = pi

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: integral0^2pi t cos(t) , dt.
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = t então du = dt
  • dv = cos(t) , dt então v = sin(t)
Aplicando a fórmula:
integral t cos(t) , dt = t sin(t) - integral sin(t) , dt = t sin(t) + cos(t)
Avaliando nos limites de 0 a 2pi:
[2pi sin(2pi) + cos(2pi)] - [0 cdot sin(0) + cos(0)] = [0 + 1] - [0 + 1] = 0

Passo 5

Por fim, a terceira parte: integral0^2pi 2 cos(t) , dt.
Integrando diretamente:
2 integral0^2pi cos(t) , dt = 2 [sin(t)]0^2pi = 2 [sin(2pi) - sin(0)] = 2 [0 - 0] = 0

Passo 6

Agora, vamos somar os resultados das três integrais:
pi + 0 + 0 = pi

Resposta

O valor da integral é pi.

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