integral0^1 2 x raiz1+4 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1 2x raiz1 + 4x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integração definida que envolve uma função polinomial multiplicada por uma raiz quadrada. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é útil quando a integral contém uma função e sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Olhe para dentro da raiz: 1 + 4x^2. A derivada dessa expressão em relação a x é 8x, que é semelhante à parte 2x que está multiplicando a raiz. Isso sugere que podemos usar substituição.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = 1 + 4x^2
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 8x
du = 8x , dx
Perceba que na nossa integral original temos 2x , dx. Podemos resolver para x , dx:
2x , dx = du4

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
integral0^1 2x raiz1 + 4x^2 , dx = integralu(0)^u(1) raizu cdot du4
Calculando os novos limites de integração:
Quando x = 0:
u = 1 + 4(0)^2 = 1
Quando x = 1:
u = 1 + 4(1)^2 = 5
Então, a integral fica:
14 integral1^5 raizu , du

Passo 5

Vamos integrar raizu:
raizu = u^1/2
A integral de u^1/2 é:
integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Aplicando isso na nossa integral:
14 [ 23 u^3/2 ]1^5 = 16 [ u^3/2 ]1^5

Passo 6

Agora, vamos avaliar de 1 a 5:
16 (5^3/2 - 1^3/2)
Calculando 5^3/2:
5^3/2 = raiz5^3 = raiz125 = 5raiz5
E 1^3/2 = 1. Então:
16 (5raiz5 - 1)

Resposta

A integral integral0^1 2x raiz1 + 4x^2 , dx é igual a:
16 (5raiz5 - 1)

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