Marque as duas derivada parciais partial wpartial x e partial wpartial y da função w=sin x+8 x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais partial wpartial x e partial wpartial y da função w = sin x + 8x^2 y. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos ver como a função muda em relação a cada uma dessas variáveis individualmente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial wpartial x, ou seja, a derivada de w em relação a x, mantendo y constante.
A função é w = sin x + 8x^2 y.
  • A derivada de sin x em relação a x é cos x.
  • A derivada de 8x^2 y em relação a x é 16x y (porque derivamos x^2 que dá 2x, e multiplicamos por 8 e por y).
Então, juntando tudo:
partial wpartial x = cos x + 16x y

Passo 3

Agora, vamos calcular partial wpartial y, ou seja, a derivada de w em relação a y, mantendo x constante.
A função é w = sin x + 8x^2 y.
  • A derivada de sin x em relação a y é 0, porque sin x não depende de y.
  • A derivada de 8x^2 y em relação a y é 8x^2 (porque derivamos y que dá 1, e multiplicamos por 8x^2).
Então, juntando tudo:
partial wpartial y = 8x^2

Resposta

As derivadas parciais da função w = sin x + 8x^2 y são:
partial wpartial x = cos x + 16x y
e
partial wpartial y = 8x^2

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