integral0^pi3 sen x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^tfracpi3 sen x cos^2x ,dx. O conteúdo principal é integração por substituição simples aplicando a relação entre sen x e a derivada de cos x. Vamos precisar reconhecer sen x,dx como parte de du após escolher u=cos x.

Passo 2

Para usar substituição, definimos u=cos x. Então calcula-se a diferencial:
du = -sin x,dx
Isolando sin x,dx, temos sin x,dx = -du. Substituindo na integral original também mudamos os limites:
  • quando x=0, u=cos0=1;
  • quando x=tfracpi3, u=costfracpi3=tfrac12.
    A integral em u fica:
integral0^tfracpi3 sin xcos^2x,dx = integralu=1^u=tfrac12 l(u^2r)(-du) = -integral1^tfrac12 u^2 ,du

Passo 3

Invertendo os limites para simplificar o sinal:
-integral1^tfrac12 u^2 ,du = integraltfrac12^1 u^2 ,du

Passo 4

Agora calculamos a antiderivada de u^2:
integral u^2 ,du = u^33
Aplicando os limites de u=tfrac12 a u=1:
u^33|tfrac12^1 = 1^33 - l(tfrac12r)^33 = 13 - 124 = 824 - 124 = 724

Resposta

7/24

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