SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
Passo 1
Vamos resolver a integral definida $ \int_{0}^{1} x \cdot e{-x{2}} , dx $. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver essa integral, precisaremos identificar uma função que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Vamos definir:
Por que essa substituição? Porque a derivada de $ u $ em relação a $ x $ nos dá uma expressão que aparece na integral original, facilitando a simplificação.
Passo 3
Agora, calculamos a derivada de $ u $ para encontrar $ du $:
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
Isso nos permite expressar $ x \cdot dx $ em termos de $ du $:
Passo 4
Substituímos $ u $ e $ du $ na integral original:
Simplificando:
Por que fazemos isso? Porque agora a integral está em termos de $ u $, que é mais fácil de resolver.
Passo 5
Integrando $ e^{u} $ em relação a $ u $:
Portanto:
Passo 6
Agora, substituímos $ u $ de volta para a variável original $ x $:
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar nos limites de integração:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Passo 7
Calculamos a diferença entre os valores nos limites:
Resposta
A integral vale: