SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral0^1 x cdot e^-x^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida $ \int_{0}^{1} x \cdot e{-x{2}} , dx $. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando a técnica de substituição. Para resolver essa integral, precisaremos identificar uma função que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição adequada. Vamos definir:
u = -x^2
Por que essa substituição? Porque a derivada de $ u $ em relação a $ x $ nos dá uma expressão que aparece na integral original, facilitando a simplificação.

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de $ u $ para encontrar $ du $:
u
Multiplicando ambos os lados por $ dx $:
du
Isso nos permite expressar $ x \cdot dx $ em termos de $ du $:
dudx = -2x

Passo 4

Substituímos $ u $ e $ du $ na integral original:
u
Simplificando:
du
Por que fazemos isso? Porque agora a integral está em termos de $ u $, que é mais fácil de resolver.

Passo 5

Integrando $ e^{u} $ em relação a $ u $:
e^u
Portanto:
u

Passo 6

Agora, substituímos $ u $ de volta para a variável original $ x $:
u
Como estamos calculando uma integral definida de 0 a 1, vamos avaliar nos limites de integração:
Para $ x = 1 $:
x
Para $ x = 0 $:
-12 e^u + C = -12 e^-x^2 + C

Passo 7

Calculamos a diferença entre os valores nos limites:
(-12 e^-1) - (-12) = 12 - 12 e^-1

Resposta

A integral vale:
1 - e^-12

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