integral0^1 f(x) d x=a f(1 / 4)+b f(1 / 2)+c f(1)
que seja exata para todo o polinômio de grau menor ou igual a 2. Utilize-a para aproximar a integral da função f(x)=sen(x)x no intervalo [0,1].

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos usar a fórmula de quadratura
integral0^1f(x),dx=a,f(1/4)+b,f(1/2)+c,f(1)
que seja exata para todo polinômio de grau ≤2, e depois aplicá-la em f(x)=\frac{\sin(x)}{x}.

Passo 2

Para determinar a, b e c impomos exatidão para f(x)=1, x e x^2. Isso gera o sistema de momentos:
a + b + c = 1
a4 + b2 + c = 12
a16 + b4 + c = 13

Passo 3

Resolvendo o sistema: substituindo c=1−a−b e eliminando variáveis, obtemos
a=49, b=13, c=29

Passo 4

Calculamos os valores de f nos pontos da fórmula:
f(tfrac14)=sin(1/4)1/4approx0.9896158, f(tfrac12)=sin(1/2)1/2approx0.9588511, f(1)=sin(1)approx0.8414710

Passo 5

Aplicamos a quadratura:
integral0^1sin(x)xdxapprox49f(tfrac14)+13f(tfrac12)+29f(1)
=49times0.9896158+13times0.9588511+29times0.8414710approx0.9465

Resposta

0.9465

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