Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
b) 4 x^2 y^prime prime-4 x y^prime+3 y=sen(ln (-x)), x<0.

Passo 1

Vamos resolver a equação de Euler-Cauchy dada por:
4 x^2 y'' - 4x y' + 3 y = sin(ln(-x)), x < 0
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
4 x^2 y'' - 4x y' + 3 y = 0
As equações de Euler-Cauchy têm a forma geral:
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
Para resolver, assumimos uma solução do tipo y = x^m. Substituindo na equação, encontramos os valores de m que satisfazem a equação característica.

Passo 3

Substituindo y = x^m, temos:
y' = m x^m-1,
y'' = m(m-1) x^m-2
Substituindo na equação homogênea:
4 x^2 cdot m(m-1) x^m-2 - 4x cdot m x^m-1 + 3 x^m = 0
Simplificando os termos:
4 m(m-1) x^m - 4m x^m + 3 x^m = 0
Fatorando x^m:
x^m [4m(m-1) - 4m + 3] = 0
Portanto, a equação característica é:
4m(m-1) - 4m + 3 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação característica:
4m^2 - 4m - 4m + 3 = 0,
4m^2 - 8m + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática 4m^2 - 8m + 3 = 0:
m = 8 pm raiz64 - 488 = 8 pm raiz168 = 8 pm 48
Assim, temos dois valores de m:
m1 = 128 = 32,
m2 = 48 = 12

Passo 5

Com os valores de m, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 x^3/2 + C2 x^1/2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(x) para a equação completa:
4 x^2 y'' - 4x y' + 3 y = sin(ln(-x))
Observando o lado direito, temos sin(ln(-x)). Vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(x) = A cos(ln(-x)) + B sin(ln(-x)),
onde A e B são funções a serem determinadas.

Passo 7

Calculando as derivadas de yp(x):
Primeira derivada:
yp'(x) = Ax (-sin(ln(-x))) + Bx cos(ln(-x))
Segunda derivada:
yp''(x) = Ax^2 (-cos(ln(-x))) - 2Bx^2 sin(ln(-x)) - Bx^2 cos(ln(-x)) - Ax^2 sin(ln(-x))

Passo 8

Substituindo yp, yp' e yp'' na equação original e igualando os coeficientes de sin(ln(-x)) e cos(ln(-x)), conseguimos um sistema de equações para A e B.
Após resolver o sistema, encontramos os valores de A e B.

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^1/2 + A cos(ln(-x)) + B sin(ln(-x))

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^1/2 + A cos(ln(-x)) + B sin(ln(-x)),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias, e A e B são determinados a partir da equação completa.

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