Resolver as seguintes equações de Euler-Cauchy.
b)
.
b)
Passo 1
Vamos resolver a equação de Euler-Cauchy dada por:
Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
As equações de Euler-Cauchy têm a forma geral:
Para resolver, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação, encontramos os valores de
que satisfazem a equação característica.
Passo 3
Substituindo
, temos:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Fatorando
:
Portanto, a equação característica é:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática
:
Assim, temos dois valores de
:
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observando o lado direito, temos
. Vamos tentar uma solução particular da forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 8
Substituindo
,
e
na equação original e igualando os coeficientes de
e
, conseguimos um sistema de equações para
e
.
Após resolver o sistema, encontramos os valores de
e
.
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias, e
e
são determinados a partir da equação completa.