integral0^1(x^2-x) cdot sen(pi x) d x

Passo 1

Estamos calculando a integral definida integral0^1(x^2 - x),sin(pi x),dx. O conteúdo principal aqui é aplicação do teorema de integração por partes, pois temos um polinômio multiplicado por sin(pi x). Vamos usar a fórmula integral u,dv = u,v - integral v,du.

Passo 2

Escolhemos u = x^2 - x e dv = sin(pi x),dx. Então calculamos:
du = (2x - 1),dx, v = integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x)
Logo,
integral0^1(x^2 - x),sin(pi x),dx = l[(x^2 - x)l(-tfrac1picos(pi x)r)r]0^1 - integral0^1l(-tfrac1picos(pi x)r)(2x - 1),dx

Passo 3

Agora avaliamos o termo de fronteira:
(x^2 - x)cos(pi x)r|0^1 = (1 - 1)cos(pi) - (0 - 0)cos(0) = 0
Portanto não sobra contribuição das fronteiras e a integral vira
integral0^1(x^2 - x),sin(pi x),dx = 1piintegral0^1(2x - 1)cos(pi x),dx

Passo 4

Distribuímos essa integral em duas partes:
integral0^1(2x - 1)cos(pi x),dx = 2integral0^1xcos(pi x),dx - integral0^1cos(pi x),dx

Passo 5

Para I1 = integral0^1xcos(pi x),dx, aplicamos integração por partes de novo com u=x, dv=cos(pi x),dx. Temos:
du = dx, v = 1pisin(pi x)
Então
I1 = l[xcdottfrac1pisin(pi x)r]0^1 - integral0^1tfrac1pisin(pi x),dx
O primeiro termo vale zero e o segundo é
-1piintegral0^1sin(pi x),dx = -1pil[-tfrac1picos(pi x)r]0^1 = -1picdot2pi = -tfrac2pi^2
Assim I1 = -2/pi^2.

Passo 6

Para I2 = integral0^1cos(pi x),dx temos antiderivada tfrac1pisin(pi x), então
I2 = 1pisin(pi x)r|0^1 = 1pi(0 - 0) = 0

Passo 7

Juntando I1 e I2 na expressão de antes:
integral0^1(2x - 1)cos(pi x),dx = 2l(-tfrac2pi^2r) - 0 = -tfrac4pi^2
Portanto a integral original é
1pi times l(-tfrac4pi^2r)

Passo 8

final_answer

Resposta

-\frac{4}{\pi^{3}}

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