Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região.
Região dentro do círculo (x^2+y^2=1) e fora do círculo (x^2+y^2=4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região em que o raio varia de 1 até 2 (anel entre os círculos de raio 1 e 2) usando coordenadas polares. O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos usar a expressão do elemento de área em polares, que é dA = r,dr,dtheta.

Passo 2

Em coordenadas polares identificamos que a região é dada por 1 <= r <= 2 e 0 <= theta <= 2pi, pois queremos o anel compreendido entre os dois círculos de raios 1 e 2.

Passo 3

Montamos a integral dupla para a área, lembrando que em polares o integrando é 1 (já que estamos calculando área) multiplicado pelo jacobiano r:
A = integraltheta=0^2pi integralr=1^2 r ,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em relação a r:
integralr=1^2 r ,dr = r^22 |1^2 = 2^22 - 1^22 = 4-12 = 32

Passo 5

Agora integramos em relação a theta:
A = integral0^2pi 32 ,dtheta = 32 l[thetar]0^2pi = 32 cdot 2pi = 3pi

Resposta

3pi

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