Em cada item, determine as derivadas parciais da função f.
(f) f(x, y)=x sen(x y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as derivadas parciais da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $. Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a $ x $ e em relação a $ y $ separadamente. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $.
A função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ é um produto de duas funções de $ x $: $ x $ e $ \sin(xy) $. Então, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
  • Passo 2.1: Derivar $ x $ em relação a $ x $ é simplesmente 1.
  • Passo 2.2: Agora, derivar $ \sin(xy) $ em relação a $ x $. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = xy $.
    Então, a derivada de $ \sin(xy) $ em relação a $ x $ é:
    f
  • Passo 2.3: Aplicando a regra do produto:
    x

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
A função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ tem $ x $ como uma constante em relação a $ y $, então apenas a parte $ \sin(xy) $ depende de $ y $.
  • Passo 3.1: Derivar $ x $ em relação a $ y $ é zero, já que $ x $ é constante aqui.
  • Passo 3.2: Derivar $ \sin(xy) $ em relação a $ y $ também usa a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = xy $.
    Então, a derivada de $ \sin(xy) $ em relação a $ y $ é:
    f
  • Passo 3.3: Multiplicando pela constante $ x $:
    y

Resposta

As derivadas parciais da função $ f(x, y) = x \sin(xy) $ são:
f(x, y) = x sin(xy)
e
partial fpartial x = sin(xy) + xy cos(xy)

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