integral cotg^-1 raizzraizz d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral cotg^-1raizzraizz,dz. O conteúdo principal aqui é uso de mudança de variável (substituição) e depois integração por partes.

Passo 2

Vamos fazer a mudança de variável u=raizz. Assim temos
z=u^2 Rightarrow dz=2u,du

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral cotg^-1(raizz)raizz,dz = integral cotg^-1(u)ucdot(2u,du) = 2integral cotg^-1(u),du

Passo 4

Agora precisamos calcular integral cotg^-1(u),du. Vamos usar integração por partes escolhendo
A=cotg^-1(u), dB=du

Passo 5

Daí
dA= -11+u^2du, B=u

Passo 6

Pela fórmula de partes integral A,dB = A B - integral B,dA, temos
integral cotg^-1(u),du = u,cotg^-1(u) - integral ul(-11+u^2r)du = u,cotg^-1(u) + integral u1+u^2du

Passo 7

A integral integral u1+u^2du é imediata, pois basta fazer v=1+u^2, resultando em
integral u1+u^2du = 12lnl(1+u^2r)

Passo 8

Portanto
integral cotg^-1(u),du = u,cotg^-1(u) + 12lnl(1+u^2r) + C

Passo 9

Voltando à nossa integral original e lembrando do fator 2, obtemos
integral cotg^-1raizzraizz,dz = 2l[u,cotg^-1(u) + tfrac12ln(1+u^2)r] + C = 2u,cotg^-1(u) + ln(1+u^2) + C

Passo 10

Por fim, substituindo u=raizz de volta:
integral cotg^-1raizzraizz,dz = 2raizz,cotg^-1(raizz) + ln(1+z) + C

Resposta

2raizz,cotg^-1(raizz) + lnl(1+zr) + C

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