Encontrar a solução geral da EDO que descreve a queda de voltagem através de um circuito do tipo R-L-C:
L d^2 qd t^2+R d qd t+1C q=0
quando R^2=4 LC.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de um circuito R-L-C em regime livre, dada por
Ld^2qdt^2+Rdqdt+1Cq=0,
no caso crítico em que R^2=tfrac4LC.
O conteúdo é EDO lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar o método do polinômio característico, observando o caso de raízes repetidas.

Passo 2

Formamos a equação característica substituindo q(t)=e^rt:
Lr^2+Rr+1C=0
O discriminante é
De<a = R^2-4Lcdot1C=0
pelo caso crítico dado. Logo há uma raiz dupla.

Passo 3

Quando a equação característica tem raiz dupla r=-R2L, a teoria de EDO diz que a solução geral é
q(t) = l(C1+C2,tr)e^rt
substituindo r:
q(t) = l(C1+C2,tr)e^-R2Lt

Resposta

q(t)=l(C1+C2,tr)exp!l(-R2Ltr),
com C1,C2 constantes determinadas pelas condições iniciais.

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