1. Resolva y^prime prime-5 y^prime+6 y=0 com y(0)=2, y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial
y'' - 5y' + 6y = 0
com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=3. Trata-se de uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para solucioná-la, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada substituindo y=e^lambda x:
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0

Passo 3

Resolvendo
lambda^2 - 5lambda + 6 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoramos diretamente:
(lambda - 2)(lambda - 3)=0
de onde
lambda1 = 2, lambda2 = 3
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1,e^2x + C2,e^3x

Passo 4

Para determinar C1 e C2, calculamos primeiro a derivada
y'(x) = 2C1,e^2x + 3C2,e^3x
Em x=0 as condições iniciais viram o sistema
C1 + C2 = 2, 2C1 + 3C2 = 3
Resolvendo, obtemos
C1 = 3, C2 = -1

Resposta

y(x) = 3,e^2x ;-; e^3x

Exercícios relacionados