integral1^2 x^2-4 x+3x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral1^2 x^2-4x+3x,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional; para resolver, primeiro a gente simplifica o integrando dividindo o polinômio pelo monômio no denominador.

Passo 2

Para simplificar, reescrevemos o integrando:
x^2-4x+3x=x-4+3x
Isso facilita porque agora podemos usar regras básicas de integração termo a termo.

Passo 3

Agora aplicamos as regras de integração:
  • integral x,dx=x^22+C,
  • integral 4,dx=4x+C,
  • integral 1x,dx=ln|x|+C.
    Então a primitiva geral é
$$
F(x)=\frac{x^{2}}{2}-4x+3\ln|x|.$$

Passo 4

Fazendo a avaliação de F(x) entre 1 e 2:
F(2)-F(1)=l(2^22-4cdot2+3ln2r)-l(1^22-4cdot1+3ln1r)
Como ln1=0, isso vira
$$
\Bigl(2-8+3\ln2\Bigr)-\Bigl(\tfrac12-4\Bigr)=(-6+3\ln2)-(-3.5)=3\ln2-2.5.$$

Passo 5

Portanto, o valor da integral é 3ln2-tfrac52.

Resposta

3\ln2 - \frac{5}{2}

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