integral0^y integral0^x cos (x+y+z) d z d x=cos (2 y)-cos (3 y)2-cos y2.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral dupla
integral0^yintegral0^xcos(x+y+z),dz,dx
Esse problema envolve integrais iteradas: primeiro integramos em z (a variável interna) e depois em x (a variável externa).

Passo 2

Calcular a integral interna
integral0^xcos(x+y+z),dz
Reconhecemos que, em z,
integralcos(x+y+z),dz=sin(x+y+z)
Avaliando de z=0 a z=x, obtemos
sinl(x+y+xr)-sinl(x+y+0r) =sin(2x+y)-sin(x+y)

Passo 3

Substituir na integral externa e separar em duas integrais:
integral0^yl[sin(2x+y)-sin(x+y)r],dx =integral0^ysin(2x+y),dx -integral0^ysin(x+y),dx
Agora encontramos as primitivas em x:
integralsin(2x+y),dx =-cos(2x+y)2, integralsin(x+y),dx =-cos(x+y)

Passo 4

Avaliar cada integral de x=0 até x=y:
integral0^ysin(2x+y),dx =l[-tfraccos(2x+y)2r]0^y =-cos(3y)2+cos(y)2,
integral0^ysin(x+y),dx =l[-cos(x+y)r]0^y =-cos(2y)+cos(y)
Combinando e observando o sinal da subtração,
integral0^yl[sin(2x+y)-sin(x+y)r],dx =l(-cos(3y)2+cos(y)2r) -l(-cos(2y)+cos(y)r) =cos(2y)-cos(3y)2-cos(y)2

Resposta

cos(2y)-cos(3y)2-cos(y)2

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