[02] Considere a equação diferencial de segunda ordem
x^prime prime+25 x=20 sen(5 t) x(0)=1, x^prime(0)=0
a) (0,5) Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b) (1,0) Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Equação característica - coeficientes à determinar.
c) (1,0) Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
x'' + 25,x = 20,sin(5t), x(0)=1,;x'(0)=0
O conteúdo envolve: (i) resolver a equação homogênea associada pelo método da equação característica; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados (resonância); (iii) resolver por transformada de Laplace.

Passo 2

Para a homogênea
x'' + 25,x = 0
associamos a característica
r^2 + 25 = 0Longrightarrow r = pm 5,i
Então a solução geral da homogênea é
xh(t) = C1cos(5t) + C2sin(5t)

Passo 3

Como o termo forçante é 20sin(5t), que coincide com a solução da homogênea (resonância), buscamos um particular da forma
xp(t) = A,tcos(5t) + B,tsin(5t)
Calculando xp'' + 25,xp e simplificando, obtém-se
xp'' + 25,xp = 10Bcos(5t) - 10Asin(5t)
que deve igualar 20sin(5t). Logo
10B = 0, -10A = 20 Longrightarrow B=0,;A=-2
Portanto
xp(t) = -2,tcos(5t)

Passo 4

A solução geral da não homogênea é
x(t) = C1cos(5t) + C2sin(5t) ;-; 2,tcos(5t)
Aplicando x(0)=1 e x'(0)=0:
x(0)=C1 = 1,
x'(t) = -5C1sin(5t) +5C2cos(5t);-;2cos(5t) +10tsin(5t),
x'(0)=5C2 -2 =0Longrightarrow C2 = tfrac25
Logo a solução é
x(t) = cos(5t) + tfrac25sin(5t);-;2,tcos(5t)

Passo 5

Usando Laplace, seja X(s)= Lx(t). Aplica-se
Lx'' = s^2X(s) - s,x(0) - x'(0) = s^2X(s) - s,
Lsin(5t) = 5s^2+25
A equação vira
(s^2X - s) +25X = 100s^2+25 Longrightarrow X(s),(s^2+25) = s + 100s^2+25
Longrightarrow X(s) = ss^2+25 + 100(s^2+25)^2
Invertendo pela tabela:
L^-1!ss^2+25 = cos(5t), L^-1!100(s^2+25)^2 = 25sin(5t) -2,tcos(5t),
resultando de novo
x(t) = cos(5t) + tfrac25sin(5t);-;2,tcos(5t)

Resposta

a) xh(t)=C1cos(5t)+C2sin(5t)
b) x(t)=cos(5t)+tfrac25sin(5t)-2,tcos(5t)
c) x(t)=cos(5t)+tfrac25sin(5t)-2,tcos(5t)

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