[02] Considere a equação diferencial de segunda ordem
a)
Encontre a solução geral da equação homogênea associada.
b)
Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Equação característica - coeficientes à determinar.
c)
Encontre a solução da equação (não homogênea) que satisfaz as condições iniciais dadas utilizando: Transformada de Laplace.
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
O conteúdo envolve: (i) resolver a equação homogênea associada pelo método da equação característica; (ii) achar uma solução particular por coeficientes indeterminados (resonância); (iii) resolver por transformada de Laplace.
Passo 2
Para a homogênea
associamos a característica
Então a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo forçante é
, que coincide com a solução da homogênea (resonância), buscamos um particular da forma
Calculando
e simplificando, obtém-se
que deve igualar
. Logo
Portanto
Passo 4
A solução geral da não homogênea é
Aplicando
e
:
Logo a solução é
Passo 5
Usando Laplace, seja
. Aplica-se
A equação vira
Invertendo pela tabela:
resultando de novo
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)