integral1^2 1x+1x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 até 2 da soma das funções 1/x e 1/x³. O conteúdo envolvido é integração de potências e integração logarítmica, e vamos precisar usar as regras de ∫x^n dx e ∫1/x dx.

Passo 2

Primeiro, separamos a integral em duas partes usando a linearidade: vamos escrever
integral1^2gl(1x+1x^3gr)dx = integral1^21xdx + integral1^2x^-3dx

Passo 3

Em seguida, encontramos a primitiva de cada termo. Sabemos que:
integral1x,dx = ln x,
integral x^-3,dx = integral x^n,dx|n=-3 = x^-2-2 = -12x^2

Passo 4

Agora avaliamos a primitiva F(x)=\ln x - \tfrac{1}{2x^{2}} nos limites de 1 a 2 e calculamos F(2)–F(1):
F(2)-F(1) = l(ln2 - tfrac12cdot2^2r) - l(ln1 - tfrac12cdot1^2r) = ln2 - tfrac18 - (0 - tfrac12) = ln2 - tfrac18 + tfrac12 = ln2 + tfrac38

Resposta

ln2 + tfrac38

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