integral1^infty sen^2(x)x^2 d x
é convergente.

Passo 1

A questão pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral1^infty sin^2(x)x^2 ,dx
O conteúdo é teste de convergência de integrais impróprias e vamos precisar do critério da comparação, sabendo que 0<= sin^2(x)<=1.

Passo 2

Observamos que para todo x,
0 <= sin^2(x)x^2 <= 1x^2
Aqui usamos a propriedade de que sin^2(x) está sempre entre 0 e 1.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação: como
integral1^infty 1x^2 ,dx
é uma integral p-tipo com p=2>1, ela converge (vale 1).

Passo 4

Pelo teste da comparação, se 0<= f(x)<= g(x) para x>=1 e integral1^inftyg(x),dx converge, então integral1^inftyf(x),dx também converge. Aqui f(x)=sin^2(x)/x^2 e g(x)=1/x^2.

Resposta

A integral integral1^infty sin^2(x)x^2,dx é convergente pelo critério de comparação.

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