integral1^2 integral0^pi sen(x y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral1^2integral0^pisin(xy),dy,dx
O conteúdo envolvido é integração iterada: primeiro integramos em y (com x constante) e depois em x. Para a parte não-elementar que surgir, usaremos a função integral de cosseno Ci.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integral0^pisin(xy),dy
Como x é tratado como constante, uma primitiva em y é
-1xcos(xy)

Passo 3

Avaliar de 0 a pi:
integral0^pisin(xy),dy = l[-tfrac1xcos(xy)r]0^pi = -1xl(cos(pi x)-cos(0)r) = 1xl(1-cos(pi x)r)

Passo 4

Substituindo na integral externa, obtemos
integral1^21xl(1-cos(pi x)r),dx = integral1^21x,dx ;-; integral1^2cos(pi x)x,dx

Passo 5

A parte elementar é
integral1^21x,dx = l[ln(x)r]1^2 = ln(2)

Passo 6

A parte não-elementar envolve
integral1^2cos(pi x)x,dx.
Definimos a função integral de cosseno por
Ci(z) ;=; -integralz^inftycos tt,dt,
para a qual vale ddzCi(z)=cos zz.
Logo uma antiderivada de tfraccos(pi x)x é Ci(pi x), e
integral1^2cos(pi x)x,dx = l[Ci(pi x)r]1^2 = Ci(2pi)-Ci(pi)

Passo 7

Juntando os resultados:
integral1^2integral0^pisin(xy),dy,dx = ln(2) ;-;l(Ci(2pi)-Ci(pi)r)

Resposta

integral1^2integral0^pisin(xy),dy,dx = ln(2) -l(Ci(2pi)-Ci(pi)r)

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