Prove que, se
é convergente,
, para todo
, então:
A série
, é convergente.
A série
Passo 1
O enunciado afirma que a série
converge, com
para todo
. Precisamos provar que, para qualquer
, a série
também converge. O conteúdo principal aqui é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.
Passo 2
Recordando a desigualdade de Cauchy–Schwarz: sejam
e
duas sequências reais. Então vale
Passo 3
Defina
Então
Passo 4
Observe que
converge por hipótese, e
converge porque
1+m>1 (série
p -com
p=1+m>1 ). Portanto o produto das raízes é finito e a série original converge.
Resposta
A série
sumn=1^+inftyraizann^1+m converge pelo critério de Cauchy–Schwarz.