Prove que, se ∑n=1^+∞ an é convergente, an>0, para todo n ∈ N, então:
A série ∑n=1^+∞ raizann^1+m, m>0, é convergente.

Passo 1

O enunciado afirma que a série sumn=1^+inftyan converge, com an>0 para todo n. Precisamos provar que, para qualquer m>0, a série
sumn=1^+inftyraizann^1+m
também converge. O conteúdo principal aqui é usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para séries.

Passo 2

Recordando a desigualdade de Cauchy–Schwarz: sejam (xn) e (yn) duas sequências reais. Então vale
sumn=1^inftyl|xnynr| ;<=; l(sumn=1^inftyxn^2r)^1/2 ;, l(sumn=1^inftyyn^2r)^1/2

Passo 3

Defina
xn = raizan, yn = 1n^tfrac1+m2
Então
sumn=1^inftyraizann^1+m = sumn=1^inftyxnyn ;<=; l(sumn=1^inftyxn^2r)^1/2 l(sumn=1^inftyyn^2r)^1/2

Passo 4

Observe que
sumn=1^inftyxn^2 = sumn=1^inftyan
converge por hipótese, e
sumn=1^inftyyn^2 = sumn=1^infty1n^1+m
converge porque 1+m>1 (série p-com p=1+m>1). Portanto o produto das raízes é finito e a série original converge.

Resposta

A série sumn=1^+inftyraizann^1+m converge pelo critério de Cauchy–Schwarz.

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