Utilize a regra da cadeia pra determinar o valor de
\left. \quad \frac{\partial f}{\partial u}\right|{u=1, v=-2} e\left.\quad \frac{\partial f}{\partial v}\right|{u=1, v=-2} , se\left{ lf(x, y)=x^2 y^2-x+2 y x=raizu y=u v^3\right.

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)=x^2y^2 - x + 2y
com as mudanças de variável
x=raizu
e
y=uv^3,
e pede os valores de
partial fpartial u
e
partial fpartial v
em u=1, v=-2.
Vamos usar a regra da cadeia para funções de duas variáveis compostas:
partial fpartial u = fx,xu + fy,yu
partial fpartial v = fx,xv + fy,yv

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y, tratando a outra variável como constante:
partial fpartial x =2xy^2 - 1
partial fpartial y =2x^2y + 2

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a u e a v:
partial xpartial u=12raizu, partial xpartial v=0, partial ypartial u=v^3, partial ypartial v=3uv^2

Passo 4

Substituímos em
partial fpartial u=fx,xu + fy,yu
e
partial fpartial v=fx,xv + fy,yv,
obtendo as fórmulas gerais:
partial fpartial u =l(2xy^2-1r),12raizu +l(2x^2y+2r),v^3
partial fpartial v =0+l(2x^2y+2r),3uv^2 =3uv^2,(2x^2y+2)

Passo 5

Em u=1, v=-2 temos
x=raiz1=1,
y=1cdot(-2)^3=-8.
Então
fx(1,-8)=2cdot1cdot64-1=127,
fy(1,-8)=2cdot1^2cdot(-8)+2=-14,
xu(1)=tfrac12,
yu(1,-2)=(-2)^3=-8,
yv(1,-2)=3cdot1cdot4=12.
Substituindo:
partial fpartial u|1,-2 =1272+(-14),(-8) =1272+112 =3512
partial fpartial v|1,-2 =12cdot(-14) =-168

Resposta

partial fpartial u|u=1,v=-2=3512
partial fpartial v|u=1,v=-2=-168

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