Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
e
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a área da região que está dentro de ambas as curvas em coordenadas polares:
e
. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar usar a fórmula
e entender qual das duas curvas limita a região em cada intervalo de
.
Passo 2
Primeiro achamos onde as duas curvas se intersectam resolvendo
. Isso dá
ou seja
, cujas soluções em
são
e
.
Passo 3
Para cada
sabemos que a região comum é limitada por
e
, então o raio efetivo é
. Entre
e
temos
, logo ali o limite é
. No restante de
vale
, então o limite é
.
Passo 4
Montamos a integral da área como soma de duas partes: a parte onde o círculo
domina, e a parte onde o cardioide
domina, ou seja
Passo 5
Calculamos primeiro a parte do círculo. Como
, temos
Passo 6
Agora a parte do cardioide: expandindo
e usando
, obtemos integrando de
a
Passo 7
Somando as duas partes temos a área total
Resposta
A área da região comum é
.