Encontre a área da região que está dentro de ambas as curvas.
r=3+2 sen theta e r=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região que está dentro de ambas as curvas em coordenadas polares: r=3+2sintheta e r=2. O conteúdo aqui é cálculo de área em coordenadas polares, e vamos precisar usar a fórmula A=tfrac12integral r^2,dtheta e entender qual das duas curvas limita a região em cada intervalo de theta.

Passo 2

Primeiro achamos onde as duas curvas se intersectam resolvendo 3+2sintheta=2. Isso dá
2sintheta=-1
ou seja sintheta=-tfrac12, cujas soluções em [0,2pi) são theta=7pi/6 e theta=11pi/6.

Passo 3

Para cada theta sabemos que a região comum é limitada por r<=2 e r<=3+2sintheta, então o raio efetivo é r=min2,,3+2sintheta. Entre 7pi/6 e 11pi/6 temos 3+2sintheta<2, logo ali o limite é r=3+2sintheta. No restante de [0,2pi] vale 3+2sintheta>=2, então o limite é r=2.

Passo 4

Montamos a integral da área como soma de duas partes: a parte onde o círculo r=2 domina, e a parte onde o cardioide r=3+2sintheta domina, ou seja
A=tfrac12l(integral7pi/6^11pi/6(3+2sintheta)^2,dtheta +integral11pi/6^2pi2^2,dtheta +integral0^7pi/62^2,dthetar)

Passo 5

Calculamos primeiro a parte do círculo. Como 2^2=4, temos
Arm circ=tfrac12cdot4l((2pi-11pi/6)+(7pi/6-0)r) =2l(tfracpi6+tfrac7pi6r) =2cdottfrac8pi6 =tfrac8pi3

Passo 6

Agora a parte do cardioide: expandindo (3+2sintheta)^2=9+12sintheta+4sin^2theta e usando sin^2theta=(1-cos2theta)/2, obtemos integrando de 7pi/6 a 11pi/6
Arm card=tfrac12integral7pi/6^11pi/6l(11+12sintheta-2cos2thetar),dtheta =tfrac12l(tfrac22pi3-11raiz3r) =tfrac11pi3-tfrac11raiz32

Passo 7

Somando as duas partes temos a área total
A=tfrac8pi3+l(tfrac11pi3-tfrac11raiz32r) =tfrac19pi3-tfrac11raiz32

Resposta

A área da região comum é 19pi3-11raiz32.

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