Uma haste, presa na origem do plano
, ocupa a posição da reta
. A haste intercepta a reta
no ponto
e a elipse
no ponto
. Quando
varia, o vértice
do triângulo retângulo
descreve uma curva. Escreva as equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro
e determine sua equação cartesiana.
Passo 1
O problema é sobre uma haste variável que passa pela origem com equação da forma x = t·y. Ela intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4x² + (y − 2)² = 4 no ponto Q. Em seguida consideramos o triângulo QPS, em que montamos o ângulo reto no vértice P fazendo QP horizontal e PS vertical. Precisamos achar a parametrização de P em função de t e depois sua equação cartesiana.
Passo 2
Primeiro achamos o ponto S, interseção da reta x = t·y com y = 4. Basta substituir y = 4 em x = t·y:
Logo S = (4t,4).
Passo 3
Para achar Q, interseção da mesma reta com a elipse, fazemos x = t·y em 4x² + (y − 2)² = 4:
Expandindo (y−2)² = y² -4y +4, obtemos
A solução y=0 é a origem; a outra é
logo
Então Q =
.
Passo 4
Para montar o triângulo retângulo com ângulo em P de modo que QP seja horizontal e PS vertical, escolhemos
Assim QP tem mesma ordenada y_Q (horizontal) e PS mesma abcissa x_S (vertical), garantindo ⟂.
Passo 5
Da expressão de P tiramos a parametrização direta da curva:
Passo 6
Para obter a forma cartesiana, isolamos t de x = 4t: t = x/4. Substituindo em y:
Essa é a equação cartesiana da curva descrita por P.
Resposta
Equações paramétricas: x(t)=4t, y(t)=4/(4t²+1). Equação cartesiana: y = 16/(x² + 4).