Uma haste, presa na origem do plano x y, ocupa a posição da reta x=t y. A haste intercepta a reta y=4 no ponto S e a elipse 4 x^2+(y-2)^2=4 no ponto Q. Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo Q P S descreve uma curva. Escreva as equações paramétricas dessa curva, em função do parâmetro t e determine sua equação cartesiana.

Passo 1

O problema é sobre uma haste variável que passa pela origem com equação da forma x = t·y. Ela intercepta a reta y = 4 no ponto S e a elipse 4x² + (y − 2)² = 4 no ponto Q. Em seguida consideramos o triângulo QPS, em que montamos o ângulo reto no vértice P fazendo QP horizontal e PS vertical. Precisamos achar a parametrização de P em função de t e depois sua equação cartesiana.

Passo 2

Primeiro achamos o ponto S, interseção da reta x = t·y com y = 4. Basta substituir y = 4 em x = t·y:
xS = t·4, yS=4
Logo S = (4t,4).

Passo 3

Para achar Q, interseção da mesma reta com a elipse, fazemos x = t·y em 4x² + (y − 2)² = 4:
4(t y)² + (y−2)² = 4 iff 4t²y² + (y−2)² -4 = 0²²²²²
Expandindo (y−2)² = y² -4y +4, obtemos
(4t² +1)y² -4y = 0 iff y[(4t²+1)y - 4] = 0²²²
A solução y=0 é a origem; a outra é
yQ = 44t²+1,²
logo
xQ = t·yQ = 4t4t²+1²
Então Q = 4t4t²+1,,44t²+1²².

Passo 4

Para montar o triângulo retângulo com ângulo em P de modo que QP seja horizontal e PS vertical, escolhemos
P=(xS, yQ) = l(4t, ,tfrac44t²+1r)²
Assim QP tem mesma ordenada y_Q (horizontal) e PS mesma abcissa x_S (vertical), garantindo ⟂.

Passo 5

Da expressão de P tiramos a parametrização direta da curva:
x(t)=4t,y(t)=dfrac44t²+1²

Passo 6

Para obter a forma cartesiana, isolamos t de x = 4t: t = x/4. Substituindo em y:
y = 44(x/4)² +1 = 4x²/4 +1 = 16x² +4²²²
Essa é a equação cartesiana da curva descrita por P.

Resposta

Equações paramétricas: x(t)=4t, y(t)=4/(4t²+1). Equação cartesiana: y = 16/(x² + 4).

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