Seja v(x, y, z) o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de v no ponto e direção indicados.
e) v(x, y)=x j, P0(2,2); na direção do vetor i+j,

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional do campo vetorial vec v(x,y)=x,vec j no ponto P0(2,2) na direção do vetor vec i+vec j. O conteúdo aqui é derivada direcional de campo vetorial: vamos calcular a derivada direcional de cada componente usando o vetor unitário na direção dada.

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor unitário na direção de vec i+vec j:
u=1|vec i+vec j|(vec i+vec j)=1raiz2(vec i+vec j)
O campo vetorial tem componentes
$$
v_1(x,y)=0,
v_2(x,y)=x.
$$

Passo 3

Para cada componente calculamos o gradiente:
nabla v1=(0,0), nabla v2=(1,0)

Passo 4

A derivada direcional de vec v é dada por
Duvec v=(nabla v1cdotu),vec i+(nabla v2cdotu),vec j
Substituindo os valores: nabla v1cdotu=0 e nabla v2cdotu=(1,0)cdottfrac1raiz2(1,1)=tfrac1raiz2.
Como isso não depende de x,y, o resultado em P0 é o mesmo: a variação de vec v na direção dada é 0,vec i+tfrac1raiz2,vec j.

Resposta

1raiz2,vec j

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