Seja v(x, y, z) o campo de velocidades de um fluido em movimento. Determinar a variação de v no ponto e direção indicados.
c) v(x, y, z)=(-x^2,-y^2, z^2) ; P0(0,0,1) ; na direção do vetor i-2 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação direcional do campo de vetores vec v(x,y,z)=(-x^2,-y^2,z^2) no ponto P0=(0,0,1) ao longo da direção dada pelo vetor vec d=vec i-2vec k. O conteúdo aqui é derivada direcional de um campo vetorial, que exige montar a matriz Jacobiana do campo e aplicá-la a um vetor unitário nessa direção.

Passo 2

A derivada direcional de um campo vetorial vec v na direção do vetor unitário vec u é dada por
Dvec uvec v(P0)=Jvec v(P0),vec u
onde Jvec v é a matriz Jacobiana de vec v.

Passo 3

Primeiro vamos normalizar o vetor de direção vec d= (1,0,-2). O comprimento de vec d é
|vec d|=raiz1^2+0^2+(-2)^2=raiz5
Logo o vetor unitário é
vec u=1raiz5(1,0,-2)

Passo 4

Agora calculamos a Jacobiana de vec v(x,y,z). As derivadas parciais são
partial v1partial x=-2x,partial v1partial y=0,partial v1partial z=0, partial v2partial x=0,partial v2partial y=-2y,partial v2partial z=0, partial v3partial x=0,partial v3partial y=0,partial v3partial z=2z
Então
Jvec v(x,y,z)=-2x&0&00&-2y&00&0&2z

Passo 5

Avaliando em P0=(0,0,1) temos
Jvec v(0,0,1)=0&0&00&0&00&0&2
Multiplicando por vec u=1raiz5(1,0,-2)
Dvec uvec v(P0)=Jvec v(0,0,1),vec u=002cdot1/raiz50-2/raiz5=00-4/raiz5

Resposta

(0,,0,,-tfrac4raiz5)

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