integral2^infty lfloor xrfloor x^2x^6-1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral2^infty lfloor xrfloor x^2x^6-1 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias devido ao limite infinito. Vamos precisar entender como a função parte inteira ( lfloor x rfloor) funciona e como lidar com integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função parte inteira lfloor x rfloor. Ela representa a parte inteira de x, ou seja, o maior número inteiro menor ou igual a x. Por exemplo, lfloor 2.5 rfloor = 2, lfloor 3.7 rfloor = 3, e assim por diante.

Passo 3

Como a função lfloor x rfloor é constante em cada intervalo [n, n+1) para n inteiro, podemos dividir a integral em somas de integrais sobre esses intervalos. Assim, a integral original se transforma em:
integral2^infty lfloor xrfloor x^2x^6-1 , dx = sumn=2^infty integraln^n+1 n x^2x^6-1 , dx

Passo 4

Agora, observamos que para x >= 2, o denominador x^6 - 1 é sempre positivo, garantindo que a função seja bem comportada nesse intervalo. Além disso, para x >= 2, podemos simplificar a expressão:
n x^2x^6-1 <= n x^2x^6 = nx^4

Passo 5

Vamos verificar a convergência da série sumn=2^infty integraln^n+1 nx^4 , dx. Integramos nx^4 de n a n+1:
integraln^n+1 nx^4 , dx = n [ -13x^3 ]n^n+1 = n ( -13(n+1)^3 + 13n^3 )
Simplificando:
= n3 ( 1n^3 - 1(n+1)^3 ) = 13 ( 1n^2 - 1(n+1)^2 )

Passo 6

Somando de n=2 até o infinito, temos uma série telescópica:
sumn=2^infty 13 ( 1n^2 - 1(n+1)^2 ) = 13 ( 12^2 ) = 112
Isso mostra que a série é convergente.

Passo 7

Como a série sumn=2^infty integraln^n+1 n x^2x^6-1 , dx é menor ou igual a 112, concluímos que a integral original também converge.

Resposta

A integral integral2^infty lfloor xrfloor x^2x^6-1 , dx converge, e seu valor está limitado por 112.

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