Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais impróprias devido ao limite infinito. Vamos precisar entender como a função parte inteira (
) funciona e como lidar com integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função parte inteira
. Ela representa a parte inteira de
, ou seja, o maior número inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Como a função
é constante em cada intervalo
para
inteiro, podemos dividir a integral em somas de integrais sobre esses intervalos. Assim, a integral original se transforma em:
Passo 4
Agora, observamos que para
, o denominador
é sempre positivo, garantindo que a função seja bem comportada nesse intervalo. Além disso, para
, podemos simplificar a expressão:
Passo 5
Vamos verificar a convergência da série
. Integramos
de
a
:
Simplificando:
Passo 6
Somando de
até o infinito, temos uma série telescópica:
Isso mostra que a série é convergente.
Passo 7
Como a série
é menor ou igual a
, concluímos que a integral original também converge.
Resposta
A integral
converge, e seu valor está limitado por
.