Questão 2. Considere o seguinte problema de valor inicial e de fronteira (equaçảo da onda):
ll ut t-ux x=0 & para x in(0, pi), t>0 u(0, t)=u(pi, t)=0 & para t >= 0 u(x, 0)=phi(x) & para x in(0, pi) ut(x, 0)=psi(x) & para x in(0, pi)
Se
phi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^4 в psi(x)=sumn=1^infty sen(n x)n^3, в
podemos afirmar que a soluçảo u(x, t) do problema é igual a
sumn=1^infty 1n^2[1n^2 cos (n t)+sen(n t)] sen(n x)

Passo 1

O problema é a equação da onda com condições de contorno de Dirichlet em (0,π) e condições iniciais dadas por séries de Fourier senoidais. Vamos usar separação de variáveis para escrever a solução geral e depois ajustar os coeficientes a_n e b_n a partir de φ(x) e ψ(x).

Passo 2

Pela separação de variáveis e uso das autofunções sen(n x) (com autovalores λ_n=n² e velocidade c=1), a solução geral é da forma:
[ u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos(n t)+b_n\sin(n t)\bigr)\sin(n x) ]
As condições iniciais geram as expansões em sen(n x) para φ(x) e ψ(x).

Passo 3

Da condição u(x,0)=φ(x)=\sum_{n=1}^\infty\tfrac{\sin(n x)}{n^4} segue que a_n=1/n^4. Da condição u_t(x,0)=ψ(x)=\sum_{n=1}^\infty\tfrac{\sin(n x)}{n^3} e sabendo que u_t(x,0)=\sum_{n=1}^\infty(b_n,n)\sin(n x), temos b_n=(1/n3)/n=1/n4.

Passo 4

Substituindo a_n e b_n em u(x,t) obtemos
[ u(x,t)=\sum_{n=1}\infty\Bigl(\frac{1}{n4}\cos(n t)+\frac{1}{n^4}\sin(n t)\Bigr)\sin(n x). ]
Fatorando 1/n^2 chega-se à forma desejada.

Resposta

\displaystyle u(x,t)=\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n{2}}\Bigl[\frac{1}{n^{2}}\cos(n t)+\sin(n t)\Bigr]\sin(n x).

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